Гирьки, весы, спички и треугольники

[finesoul]

1-я задача (в основном для математически подкованных): Есть 4 гирьки. Выберите их номинал (целые числа) так что бы можно было взвесить любой вес (целые числа) от 1 до 39 кг. Математики даже легко укажут какой максимальный диапазон весов можно охватить 3-мя, 4-мя, 5-ю гирьками. ;)

Решено:
29th-Jul-2011 09:31 pm EEST (GMT +3) alik_ntu Решено. Доказательство "на пальцах".

2-я задача (для тех кто сможет подойти к задаче нестандартно): Составьте из 6 спичек 4 РАВНОСТОРОННИХ треугольника. Спички не могут пересекать друг-друга (нельзя их класть одну на другую.)

Решено:
27th-Jul-2011 10:22 pm EEST (GMT +3) loteriel
29th-Jul-2011 09:31 pm EEST (GMT +3) alik_ntu
Но неоднозначность формулировки задачи позволяет и другие решения, например, можно из спичек составить "звезду Давида" и получить даже 6 равносторонних треугольников (или 6+2, смотря как считать). Поправил.

Comments

[finesoul]

По почте прийдет...
Решение очень элегантное. Если подробно, то длинно и четко...
1) Каждая гирька може быть -m 0 +m, что есть смещеный на -m диапазон 0m 1m 2m
и фактически есть проекцией разряда в 3-ичной системе с весом m.
2) У нас 4 гирьки значит 4 разряда с весами m3, m2, m1, m0.
Числа у которых веса удовлетворяют условию m (i) = m(i-1)*m
покрывают весь диапазон значений 0 до m^разрядов-1.
Если вес разряда больше пявляются пробелы, меньше - дубликаты.
Можно доказать идукцией, а можно принять как аксиому.
Поэтому нам подойдут веса троичной СИ ( ...,27, 9, 3, 1).
3) Посчитаем хватит ли нам значений?
2222 = 2*27+2*9+2*3+2*1 = 81-1=80
4) Вспоминаем, что 2m у нас нет, а есть только -m.
Остался только финальный рывок: 2m = 3m -m
Т.е. для двоек надо увеоичить след разряд на 1, а в текущем разряде установить -1
5) Дополнительное ограничение уменьшает покрываемый диапазон до 1111
1111 = 1*27+1*9+1*3+1*1 = 40